Infinités d’infinis


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Betty reçoit ses amis ce samedi soir au début des années soixante dix. Après un repas bien arrosé et substantiel ils sont là tous les cinq affalés sur le canapé et dans les fauteuils sirotant leur mirabelle et parlant de réformer le monde et la société. Quelquefois, ils vont jusqu’à parler de l’au-delà mais cela ne les préoccupe pas beaucoup, ce ne sont pas des mystiques ces techniciens, ingénieurs et même, eh oui, un trader en puissance ! Betty revient de la cuisine après avoir rincé quelques verres et entend cette phrase : « l’infini n’a pas de sens » Betty sursaute. Elle a toujours été surprise de voir la réticence de beaucoup de gens en face de la notion d’infini.

Pourtant dès l’école primaire et même avant, on apprend à compter en commençant parfois par « 1, 2, 3, beaucoup » mais quand même les nombres entiers sont une notion d’infinité qui est pourtant très naturelle : on n’arrête pas de compter! Il existe toujours un entier plus grand qu’un entier donné. Voilà la loi. En dehors de cela la notation 0, …, 9, 10, …19,…100,… n’est qu’une convention de symboles qui permet d’exprimer cette infinité. Quand on y regarde de près c’est un concept difficile mais la difficulté vient plutôt de l’écriture du symbole 1248 qui représente un certain entier naturel plutôt que de la notion d’infinitude. En effet un tout petit adore demander « et après ? » ou bien « et encore » ? sans vouloir s’arrêter. C’est le « toujours plus, toujours plus, … » où semble se complaire d’ailleurs notre civilisation. Les entiers naturels sont l’essence même de notre monde, la mesure du temps qui passe, qui passe, qui passe. Pourquoi croire à la fin des temps ? Pourquoi ce blocage d’imagination ? Pourquoi ce refus de l’éternité ?

Ce qui va suivre n’est pas pour ceux qui refusent le concept de l’infini. Avec l’idée du « toujours plus grand » on obtient bien un infini. Mais on peut imaginer un nombre qui serait lui plus grand que tout nombre entier, en dehors du temps en quelque sorte. Georg Cantor l’a fait et il a nommé ce nombre, dit ordinal, l’omega : ω . L’existence de cet ω peut-être discutée mathématiquement. Elle est liée à celle de l’existence d’un ensemble contenant tous les nombres entiers. Elle est affirmée grâce à ce qui est appelé l’axiome de l’infini. Mais à partir du moment où l’on admet cet axiome, ou l’on fait cet acte de foi, on va pouvoir définir la classe infinie de tous les ordinaux, un « infini absolu » que Cantor lui-même identifie à Dieu.

En effet, continuons le « toujours plus grand » Nous le pouvons en appliquant la construction naturelle (inductive) des entiers. ω a alors un suivant : ω + 1, suivi de ω + 2, suivi de ω + 3 , … le tout à l’infini bien sûr. Maintenant nous avons bien certainement l’ordinal ω + ω soit 2ω qui est plus grand que tout ce qui précède. On peut recommencer et nous aurons 3ω, 4ω, …. On ne pourra donc pas s’arrêter là. L’ordinal ωω les sublimera tous. On peut d’ailleurs le noter ω2. Après cela les ordinaux ω3, ω4, etc. peuvent être construits. Et hop voilà qu’apparaît ωω ! Comprenez toutes les infinités d’infinités que cela suppose et par conséquent tous les mondes et espaces de temps associés.

Le lecteur qui aura eu le courage de suivre jusqu’ici cette vulgarisation d’une des définitions ordinaux comprendra que l’on atteindra un jour ωωω. En résumé nous avons déjà :
1<1+1=2<…<ω<ω+1<ω+2<…<ω+ω=2ω<…<3ω<…<ωω=ω2<…<ωω<…<ωωω

On introduit alors la notation ε0 = ωωω. Je n’ose pas vous demander ce qu’est alors ε1 et εω ! Il y aura toujours un plus grand possible uniquement à partir de la seule acceptation de l’axiome de l’infini. Et certainement il nous faut alors un Ω celui qui supplante toute ces ordinaux dénombrables, le non dénombrable, l’absolu, le Dieu de Cantor.

Betty n’a pas eu le courage de développer cela à ses invités septiques, ce qui n’aurait pas eu d’impact et ce qui, tel que cela est présenté dans ce billet, n’est que de la vulgarisation mathématique. J’ai peur du regard critique des collègues de Betty sur cette anecdote. Mais revenons aux invités de Betty et à tous ceux qui se croyant des êtres supérieurs, ne croient pas à l’existence des concepts mathématiques bien qu’ils utilisent les retombées des mathématiques tous les jours dans leur existence. Ils ne se posent même pas la question de savoir si eux-mêmes existent vraiment !

Si Betty avait eu le courage d’expliquer les ordinaux, elle aurait du faire face à l’inévitable et toujours stupide remarque de ceux qui sont complètement dépourvus d’imagination et de créativité: « Quelle utilité ? » . Je ne vais pas vous assommer avec les retombées nombreuses des ordinaux au sein des mathématiques. Les idées multiples de Cantor n’ont pas été admises tout de suite par la communauté scientifique. Tout innovateur se retrouve marginalisé. Cantor déprima. Il en vint même à enseigner la philosophie. Mathématiques et philosophie sont très proches, c’est bien connu. Betty vous dirait que pour elle c’est la même chose. Pour Leibniz, Dieu est le premier mathématicien : « Il calcule et le monde se fait ». Galilée a dit que « La mathématique est l’alphabet dans lequel Dieu a écrit l’univers » et que « le livre de la nature est écrit en langage mathématique ».

Betty ce soir là laissa partir ses invités sans dire un mot. Je vous dis moi simplement que les ordinaux sont utilisés même par certains informaticiens par exemple celui là. Une dernière chose : L’introduction des ordinaux a permis de démontrer un théorème sur les entiers naturels que l’on ne peut pas prouver en arithmétique et on peut même prouver que ce théorème ne peut pas être prouvé en arithmétique. Comme quoi il faut savoir sortir de la boite et inventer l’ω pour créer. Il est temps de sauter un pas de plus dans l’évolution humaine si nous ne voulons pas nous éteindre. Envisageons l’ω et envoyons au diable tout le reste.

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À propos de chiendentbel

âgée mais éternellement jeune !

Publié le 12/01/2012, dans réflexion. Bookmarquez ce permalien. Commentaires fermés sur Infinités d’infinis.

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