Quand Miss Marple utilise des déductions

Miss Marple

Connaissez-vous Miss Marple ? Cette vieille dame dans les soixante dix ans se fait détective amateur et trouve la solution des énigmes meurtrières plus rapidement que la police et même Scotland Yard grâce à sa connaissance de l’âme humaine, à sa capacité d’écoute et à ses liens avec la gentry de sa région. Ses talents ne s’arrêtent pas là. Je soutiens qu’en plus Miss Marple sait très bien raisonner déductivement et qu’elle utilise les principes de la déduction dite naturelle.

Nous allons étudier un exemple que j’emprunte à la fin de l’épisode intitulé Le manoir de l’ illusion. Elle fait dans sa tête la constatation suivante « Soit Edgar n’est pas le fils de Lewis comme tous le croient, soit Edgar et Lewis sont les meurtriers donc si Edgar est bien le fils de Lewis alors Edgar et Lewis sont bien les meurtriers. » Bien sûr elle ne fait pas part de ce qui se passe dans sa tête mais elle peut alors dire à son auditoire qu’elle connaît qui a accompli le meurtre et qu’elle a encore à prouver quelque chose pour en être certaine. Elle utilise un émissaire pour faire des recherches au sujet du mystère de la naissance d’Edgar et finalement elle brandit son acte de naissance prouvant qu’Edgar est bien le fils de Lewis et peut dévoiler à la stupéfaction générale qu’Edgar et Lewis sont les meurtriers.

La logique de déduction naturelle est un formalisme de déduction qui a été proposé par le mathématicien et logicien G. Gentzen en 1934. L’intention était de formaliser la syntaxe, disons l’ossature du raisonnement déductif en mathématique. On fait un raisonnement déductif quant à partir d’hypothèses, on aboutit une conclusion en utilisant un certain nombre de principes : de règles logiques.

Nous allons décortiquer le corps du raisonnement de Miss Marple mais pour cela il va me falloir introduire deux variables propositionnelles p et q, p remplaçant la proposition Edgard est le fils de Lewis et q remplaçant la proposition Edgard et Lewis sont les meurtriers. Maintenant pour traduire dans un cadre formel le jugement qu’a Miss Marple dans sa tête, il me faut relier p et q par des connecteurs logiques usuels que sont le ou noté ∨, l’implique noté ⤇ et le non noté ¬. On peut alors coder la proposition de Miss Marple comme étant :

(¬ p ∨ q) ⤇ (p ⤇ q)

Notez bien que cela se poursuit par une preuve de p qui permet à Miss Marple de conclure qu’elle a bien q.

Pour déstructurer et par la même obtenir une preuve de la validité du raisonnement de Miss Marple en utilisant la logique de déduction naturelle. Je vais devoir en introduire quelques principes que vous utilisez tout naturellement sans y prendre garde.

L’implication, le si … alors, le donc et ses diverses formes jouent un grand rôle dans nos raisonnements . L’implication est simplement le résultat d’une déduction. Notons bien que pour savoir si une implication est correctement faite, il faut expliciter la déduction sous-jacente. Autrement dit, si de A je peux déduire B alors je peux conclure que A implique B. La règle formelle devient :

A ├ B (si de A je déduis B)

A ⤇ B (je conclus que A implique B)


En appliquant ce principe on peut obtenir une ossature globale du jugement de Miss Marple :

(¬ p ∨ q) ├ (p ⤇ q)

(¬ p ∨ q) ⤇ (p ⤇ q)

Nous nous occuperons de la déduction (¬ p ∨ q) ├ (p ⤇ q) dans un autre billet car elle me permettra d’introduire d’autres remarques sur la logique propositionnelle. Débarrassons nous donc nous de la fin du raisonnement. Miss Marple a effectué la déduction. Elle sait que p ⤇ q et elle a maintenant en main la preuve de p. Elle peut alors dire qu’elle a prouvé q car de p et de p ⤇ q, on peut déduire q, principe connu qui s’appelle le modus ponens et qui s’énonce comme suit dans le formalisme de déduction naturelle :

A , A ⤇ B

B

Il est intéressant de remarquer comment la déduction de p ⤇ q a permis a Miss Marple de se poser la question de trouver la preuve p qui lui permet d’affirmer qu’elle détient les coupables.

Notez bien que nous ne regardons ici que la syntaxe du raisonnement et non son contenu que sont les valeurs de p et de q, contenu qui a demandé à Miss Marple des ressources d’une autre nature. Nous assumons aussi l’hypothèse ¬ p ∨ q faite par Miss Marple mais cela est inhérent au principe de la déduction. Le raisonnement ne tient pas compte de la vérification des hypothèses. Si celles-ci ne sont pas valides, tout tombe à l’eau. L’établissement de l’hypothèse a aussi demandé à Miss Marple ses ressources d’intuition et d’observation qui ne sont pas formalisables.

Le système formel qu’est la logique de déduction naturelle qui a été formalisée par le mathématicien et logicien G. Gentzen en 1934 est simple, facile à comprendre et à utiliser quand on veut s’amuser à jouer avec le symbolisme syntaxique. Il a heureusement la bonne propriété d’être correct car il ne fournit une preuve que si la formule dont il dissèque une preuve est valide. Il est même complet car toute proposition valide peut être prouvée. Oh ! bien entendu comme j’en ai touché deux mots dans ce billet
le théorème d’incomplétude de Gödel nous dit alors que ce n’est pas un système très puissant mais on le sait bien car il ne s’agit que de formaliser le calcul des propositions : des jugements de base et non pas de formaliser la logique de toute la connaissance.

Le calcul des propositions est décidable ce qui veut dire que l’on peut écrire un programme qui termine en trouvant automatiquement la preuve d’une proposition correcte. C’est important car le calcul des propositions est le noyau des logiques dites mathématiques. Le domaine de l’informatique correspondant est celui de la démonstration automatique, domaine qui ne cesse de me fasciner.

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À propos de chiendentbel

âgée mais éternellement jeune !

Publié le 15/01/2014, dans divertissement. Bookmarquez ce permalien. 2 Commentaires.

  1. logique logique où nous mènes tu …. retournons à la lecture 😉

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