Le non, le faux, l’absurde

Dans le billet précédent, nous avions laissé de côté la déduction (¬ p ∨ q) ├ (p ⤇ q). Dans le cadre de la logique de déduction naturelle, nous savons que quand on possède l’alternative A ∨ B, si de A on peut déduire C et que de B l’on déduit C alors on obtient une preuve de C. Ceci se formalise dans la règle suivante :

A ∨ B, A ├ C, B ├ C (si j’ai A ∨ B et que je déduis C de A et aussi de B)

C (J’obtiens C)

Il suffit de voir que l’on peut superposer ¬ p avec A, q avec B et p ⤇ q avec C pour comprendre qu’il nous suffit d’établir les deux déductions :
¬ p ├ (p ⤇ q)
q ├ (p ⤇ q)
pour obtenir la preuve de
p ⤇ q .

Pour la déduction q ├ (p ⤇ q)
Il suffit d’appliquer la règle qui réduit la preuve d’une implication à une déduction que nous avions déjà utilisée dans le billet précédent:

A ├ B (si de A je déduis B)

A ⇒ B (je conclus que A implique B)


Avec cette règle on doit prouver que p,q ├ q
Le résultat est immédiat car l’axiome unique de la déduction dit que A ├ A. On peut voir le reflet de la proposition A au travers du miroir de la déduction. En appliquant cette réflexivité, l’hypothèse q me permet d’obtenir une preuve de q.

Il nous reste donc seulement à prouver que :
¬ p ├ (p ⤇ q)
En utilisant la règle ci-dessus cela revient à prouver que :
¬ p, p ├ q

A ce point je ne peux m’empêcher d’être classique (logique dite classique) et d’ utiliser la règle de la preuve par l’absurde (reductio ad absurdum). Vous savez bien que parfois pour prouver un résultat mathématique on suppose ce résultat faux et on montre que cela entraîne une contradiction. Je me rappelle que mes professeurs de mathématiques au lycée appelaient autrefois ce raisonnement la preuve par fausse supposition. Pour exprimer ce principe, les logiciens utilisent bien entendu un symbole, celui de l’absurde. L’absurde se note ⊥. Qu’est-ce que l’absurdité ? C’est tout bonnement une contradiction. On a une absurdité quand on veut quelque chose et son contraire. C’est donc de A et ¬ A que l’on peut déduire l’absurde :

A , ¬ A

En superposant p à A on a donc ¬ p, p ├ ⊥ . Nous sommes prêts à utiliser un raisonnement par l’absurde. Pour déduire q, il sous suffit de supposer ¬ q; et comme des hypothèses p, ¬ p on déduit l’absurde, on peut conclure que q est valide : ce que nous devions démontrer.

L’on aurait pu se passer de faire la fausse supposition de ¬ q en utilisant la règle que tout à fait personnellement je nomme celle du miracle de l’absurdité qui exprime que de l’absurdité on peut déduire absolument tout et n’importe quoi (ex falso quodlibet) !


A


Comme nous avions ¬ p, p ├ ⊥, il est inutile d’utiliser le raisonnement par l’absurde en supposant ¬ q pour déduire q car la règle du miracle de l’absurde nous permet de conclure q directement sans faire de fausse supposition !

L’absurde correspond à l’horreur de la contradiction qu’ont en particulier les mathématiciens. Est-ce que la contradiction est vraiment toujours une absurdité ? Le monde dans lequel nous vivons n’est pas si regardant ! Si j’étais philosophe je dirais même sans doute que le principe du miracle de l’absurde autrement dit l’absurdité créatrice c’est le néant, le vide qui précède la création. Quant-à moi je m’égare dans un texte pseudo-philosophique ou au pire mensonger quand je m’éloigne de tout support logico-mathématique.

On peut affirmer malgré tout que dès que l’on utilise une négation dans notre discours ou quand nous lisons un texte qu’ il y a de grands risques de s’emmêler et de non seulement dire ou comprendre le contraire de ce que ce qui est dit ou écrit mais aussi de faire des conclusions malencontreuses. Le pire est quand on utilise en sus des doubles négations !

Vous allez sans doute protester que l’absurde c’est tout simplement le faux. Hé bien là la syntaxe vous réserve une surprise. Le faux qui peut se noter F est une valeur sémantique qui peut à la rigueur apparaître comme opérande d’un connecteur logique dans une proposition ce que l’absurde ne peut en aucune manière que ce soit. On peut à la limite écrire par exemple la proposition :
(F ∨ ¬ p) ⤇ p
mais pas
(⊥ ∨ ¬ p) ⤇ p.

Il faut être très conscient de la confusion entre syntaxe et sémantique. Les logiciens, les linguistes et les philosophes le sont !

La logique de déduction naturelle n’a pas coutume de considérer le faux. On peut admettre cependant de remplacer une occurrence de faux dans un jugement par p ∧ ¬ p ( ∧ notant le et usuellement dans le codage des propositions). Cela fait alors de faux un équivalent logique de ce qui me dérange quelque peu car pour moi le faux n’est pas exactement synonyme de l’absurde. L’absurde me parait être un absolu. L’absurde marque la contradiction interne de la logique, son manque de cohérence. Le faux me semble beaucoup plus subjectif. Le faux appartient au modèle qui donne un sens à la logique. D’ailleurs une logique peut être cohérente, c’est à dire dépourvue de contradiction, tout en étant incorrecte c’est à dire pouvant prouver des choses qui sont fausses dans le modèle qui lui donne un sens. Autrement dit vous pouvez ne jamais vous contredire mais quand même émettre des bêtises.

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À propos de chiendentbel

âgée mais éternellement jeune !

Publié le 22/01/2014, dans divertissement. Bookmarquez ce permalien. Commentaires fermés sur Le non, le faux, l’absurde.

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